Variables aléatoires indépendantes

Définition

Soit  `n`  un entier naturel et `X_1` ,  `X_2` , ...,  `X_n` des variables aléatoires réelles définies sur un même univers fini  `\Omega` .
On dit que les variables aléatoires  `X_1` ,  `X_2` , ...,  `X_n`  sont (mutuellement) indépendantes  si, pour tous réels  `x_1` , `x_2` , ..., `x_n` , on a  \(P(X_1=x_1\cap X_2=x_2 \cap \dots \cap X_n=x_n)=P(X_1=x_1) \times P(X_2=x_2) \times \dots \times P(X_n=x_n)\)

Exemple

On lance trois fois de suite un dé équilibré à six faces, numérotées de 1 à 6.
On appelle  \(X\)  le numéro obtenu au premier lancer,  \(Y\)  le numéro obtenu au deuxième lancer et  \(Z\)  le numéro obtenu au troisième lancer.
Alors, le s variables aléatoires  \(X\) ,  \(Y\) , et  \(Z\)  sont indépendantes.

Remarque

Plus généralement, si l'on considère une succession d'épreuves aléatoires indépendantes, chacune étant reliée à une variable aléatoire réelle, alors ces variables aléatoires sont indépendantes.